Otázka, kolikrát lze přeložit kus papíru, patří mezi klasické hádanky, které se šíří ve školách i na internetu. Běžná odpověď zní: sedmkrát, a ne víc. Tento limit se stal téměř „vědeckým faktem“ a symbolem exponenciálního růstu, který rychle překonává naše fyzické možnosti. Je to ale pravda? A co brání překonání tohoto magického čísla?
Příběh o limitu sedmi přeložení je fascinující ukázkou, jak fyzika, geometrie a exponenciální růst společně stanovují překážku, která je pro běžného člověka nepřekonatelná.
1. Exponenciální tloušťka a limit síly
Hlavním důvodem, proč je přeložení papíru tak náročné, je exponenciální růst tloušťky. S každým přeložením na polovinu se počet vrstev papíru zdvojnásobí:
| Počet přeložení (n) | Počet vrstev (2n) | Tloušťka (při t0=0,1 mm) |
| 1. | 2 | 0,2 mm |
| 2. | 4 | 0,4 mm |
| 3. | 8 | 0,8 mm |
| 4. | 16 | 1,6 mm |
| 5. | 32 | 3,2 mm |
| 6. | 64 | 6,4 mm |
| 7. | 128 | 12,8 mm (přes 1 cm) |
| 8. | 256 | 25,6 mm (přes 2,5 cm) |
Již při sedmém přeložení musíte ohnout 128 vrstev papíru najednou. Tloušťka se blíží tloušťce knihy, a papír v ohybu ztrácí svou poddajnost.
A. Dva problémy s každým ohybem
Limit sedmi přeložení není dán jen potřebnou silou, ale dvěma souvisejícími faktory:
- Rostoucí tloušťka: Vrstva papíru je tak tlustá, že k jejímu stlačení do nového ohybu je zapotřebí enormní síla.
- Zkracující se délka: S každým přeložením se délka a šířka papíru zmenší na polovinu. Po sedmi přeloženích zbyde jen maličký čtvereček, který je ztuhnutý a nabízí jen minimální plochu, přes kterou byste mohli aplikovat páku pro další ohyb.
Při pokusu o 8. přeložení už papír nevytvoří plynulý ohyb, ale spíše se rozdrtí nebo roztrhne kvůli napětí na vnější straně ohybu.
2. Vyvrácení mýtu: Rekordy a matematika
Ačkoli limit sedmi přeložení platí pro obyčejný list papíru (např. A4 nebo dopisní papír) přeložený ručně a střídavě ve dvou směrech, neplatí absolutně. Rekordy v počtu přeložení ukazují, že s dostatečným materiálem a vybavením lze limit překonat.
A. Případ Britney Gallivan (2002)
Nejzásadnější průlom přišel v roce 2002, kdy tehdy šestnáctiletá americká studentka Britney Gallivan nejenže papír přeložila vícekrát, ale také odvodila přesný matematický vzorec.
Její závěr zněl: klíčová není jen síla, ale především dostatečná délka papíru vzhledem k jeho tloušťce. Pro přeložení papíru v jednom směru (ne střídavě, ale vždy kolmo na předchozí ohyb) odvodila vzorec pro minimální potřebnou délku papíru (L):
L=6πt(2n+4)(2n−1)
Kde t je tloušťka materiálu a n je počet požadovaných přeložení.
Pomocí 1200 metrů dlouhé role toaletního papíru a asistence, se Britney Gallivan podařilo papír přeložit 12krát v jednom směru. Tím oficiálně vyvrátila starý mýtus.
B. MythBusters a rekord 13 přeložení
V roce 2007 se legendární populárně-vědecký pořad MythBusters (Bořiči mýtů) pokusil o další rekord, tentokrát s papírem přeloženým střídavě.
- Vzali obrovský kus papíru, velký jako polovina fotbalového hřiště (přes 50 metrů dlouhý).
- Použili vysokozdvižný vozík a válec, aby vytvořili dostatečnou sílu.
- Podařilo se jim papír přeložit 11krát, čímž pro televizi demonstrovali platnost Gallivaniny práce.
Pozdější týmy, které následovaly Gallivaninu metodu přeložení v jednom směru, dosáhly rekordu 13 přeložení (např. studenti z Massachusettského technologického institutu MIT v roce 2011).
3. Astronomická tloušťka
I když rekord 7 přeložení pro list papíru neplatí, exponenciální růst zůstává jednou z nejúchvatnějších demonstrací matematiky.
Vezměme si příklad, který se často používá pro demonstraci síly exponenciálního růstu: Jaká by byla tloušťka papíru po 42 přeloženích?
Předpokládejme, že papír má tloušťku t0=0,1 mm.
- Tloušťka po 42 přeloženích: T=0,1×242 mm
- 242≈4,398×1012
- T≈439,8×109 mm, což je přibližně 439,8 milionu˚ km.
Vzdálenost ze Země na Měsíc je v průměru asi 384 400 km.
To znamená, že pokud by bylo fyzicky možné přeložit list papíru 42krát, jeho tloušťka by byla větší než vzdálenost ze Země na Měsíc!
Mýtus o sedmi přeloženích papíru je jen částečně pravdivý. Je to fakt pro prakticky jakýkoliv běžný, ručně přeložitelný papír. Skutečný limit však není dán magií čísla sedm, ale fyzikálním střetem exponenciálně rostoucí tloušťky a lineárně ubývající plochy materiálu, který potřebujeme k ohybu.
Díky matematickému vzorci a vynalézavosti se podařilo ukázat, že s dostatečně dlouhým a tenkým materiálem, a s technickou asistencí, lze tento limit posunout. Základní lekce však zůstává: exponenciální růst je síla, kterou nelze podceňovat.
